- 公開日2026/03/25
- 最終更新日2026/03/25
素因数分解とは？やり方から応用問題まで5分でわかる！【例題付き】
目次
数学の授業で「素因数分解」と聞いて、難しそうだと身構えてしまうお子さまは少なくありません。しかし、素因数分解はルールさえ知ればパズル感覚で解ける、得点源にしやすい単元です。
この記事では、素因数分解の定義から、ミスを防ぐ「すだれ算」のやり方、さらには入試に直結する応用問題までを専門講師が徹底解説します。この記事を読むことで、お子さまの数学への苦手意識を解消し、高校入試に向けた盤石な基礎力を養うことができます。
【監修】 兵庫県No.1塾講師が解説！素因数分解でつまずかないための最初のステップ
素因数分解は、中学数学の中で「数学的な楽しさ」を実感できる単元のひとつです。私はこれまで兵庫県内の数多くのトップ校合格者を指導してきましたが、数学が得意になる子は皆、この単元をパズルを解くように楽しんでいます。
「素因数分解」という言葉の響きだけで「難しそう」と壁を作る必要はありません。実は、この単元のポイントは、やり方を暗記することではなく、数の成り立ちを理解することにあります。
基礎さえ押さえれば、誰でも確実に満点を狙えるようになります。この記事を通じて、素因数分解を「ただの計算」から「得意な武器」へと変えていきましょう。
素因数分解とは？まずは言葉の意味をわかりやすく解説
素因数分解とは、一言で言えば「ある自然数を、素数だけの掛け算の形にバラバラにすること」です。例えば、「12」という数字を分解してみると「2 × 2 × 3」という形になります。
このとき、使われている「2」や「3」は、それ以上は割り切ることができない最小単位の数字です。このように、数字を「これ以上分解できない要素（素因数）」の積み重ねとして表現することを素因数分解と呼びます。
この考え方は、中学1年生で習う基礎ですが、高校入試や大学入試でも必須となる非常に重要なツールです。まずは具体的な言葉の意味から整理していきましょう。
理解に不可欠な3つの重要用語（素数・因数・自然数）
素因数分解をマスターするためには、前提となる3つの用語を理解しておく必要があります。
自然数
自然数とは、1, 2, 3...といった「正の整数」のことです。ものを数えるときに使う数字で、0や小数、分数は含まれません。
素数
素数とは、「1とその数自身でしか割り切れない、1より大きい自然数」を指します。具体的には2, 3, 5, 7などが代表的で、1は素数に含まれない点に注意が必要です。
因数
因数とは、ある数を掛け算の形にしたときの、それぞれの数字のことです。例えば 6 = 2 × 3 のとき、2と3は6の因数であり、特にこれらが素数であれば「素因数」と呼びます。
覚えておくと計算が速くなる！100までの素数一覧
素因数分解を素早く正確に行うには、素数を暗記しておくことが近道です。特に、2桁までの素数を瞬時に見分けることができれば、計算スピードは劇的に向上します。
| 範囲 | 該当する素数 |
|---|---|
| 1～10 | 2, 3, 5, 7 |
| 11～20 | 11, 13, 17, 19 |
| 21～50 | 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47 |
| 51～100 | 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97 |
まずは20未満の素数（2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19）を完璧に覚えましょう。これらを知っているだけで、大きな数字を分解する際の迷いがなくなります。
素因数分解のやり方・コツを5つのステップで紹介【すだれ算が便利】
素因数分解をミスなく行うには、「すだれ算（はしご算）」と呼ばれる筆算の方法が最も効率的です。これは割り算の筆算を上下逆さまにしたような形で、視覚的に計算過程を整理できます。
やり方は非常にシンプルで、分解したい数字を小さい素数から順に割っていくだけです。この手法を身につければ、桁数の多い複雑な数字でも、短時間で確実に正解にたどり着くことが可能になります。
最初のうちは、自己流で計算せずに、この5つのステップを守って練習することをおすすめします。それでは、具体的な手順を見ていきましょう。
ステップ①：分解したい数の下に線を引く
まずは、素因数分解したい数字（例：60）を書きます。その数字の左側と下に、L字型の線を引いて囲みましょう。
これは割り算の筆算の形を上下逆にしたようなイメージです。下に線を引くことで、その下に計算結果を書き足していくスペースを作ります。
ステップ②：最も小さい素数で割り算する
次に、その数字を割り切ることができる「最も小さい素数」を探します 。まずは最小の素数である「2」で割れるかを考え、無理なら「3」「5」と順に試していきます。
20の場合は偶数なので、一番小さい素数である2で割り切ることができます。必ず小さい素数から順番に試していくことが、計算ミスを防ぎ、漏れなく分解する最大のコツです。
ステップ③：線の左に割った素数を、下に答えを書く
割る数が決まったら、線の左側にその素数（2）を書きます。そして、割り算の答えである商を、線の下に書き込みます。
20 ÷ 2 = 10 なので、左に「2」、下に「10」と書きます。これで1段階目の分解が完了です。
ステップ④：答えが素数になるまで②と③を繰り返す
下線の下に書いた数字が素数になるまで、同じ作業を繰り返し、どんどん下に書き足していきます。10はまだ素数ではないので、再び最小の素数である2で割り、答えの「5」をさらに下に書きます。
10 ÷ 2 = 5 となり、最後に出てきた「5」は素数です。商が素数になった時点で、この割り算の作業は終了となります。
ステップ⑤：線の左側の数と最後の答えを掛け算の形でまとめる
最後に、L字の左側に並んだ数字と、一番下に出た最後の素数をすべて掛け算の形で書き出します。このとき、同じ数字が複数ある場合は、「指数（累乗）」を使ってまとめるのがルールです。
20の場合、左側に「2」が2つ並び、一番下が「5」なので、20 = 2 × 2 × 5 = 2² × 5 と表します。これが20を素因数分解した最終的な答えです。
素因数分解を実際に解いてみよう！レベル別の練習問題
基本的な2桁の数から、少し複雑な3桁・4桁の数まで、レベル別の練習問題を出題します。詳しい解き方もセットで解説するので、自分の理解度を確認しながら着実にステップアップできます。
2桁の数の素因数分解（例：18, 72）
18や72など、まずは九九の範囲で考えやすい2桁の数から挑戦しましょう。
「18」を素因数分解する場合
- 18は偶数なので2で割ると9。
- 9は3で割ると3。
- 3は素数なので、18 = 2 × 3² となります。
「72」を素因数分解する場合
- 72を2で割ると36。
- さらに2で割ると18、さらに2で割ると9。
- 9を3で割ると3なので、72 = 2³ × 3² です。
3桁の数の素因数分解（例：180, 252）
「180」や「252」といった、少し大きめの3桁の数の問題です。計算ミスをしないように、丁寧に進める練習をしましょう。
「180」を素因数分解する
- 180を2で割って90、さらに2で割って45。
- 45を3で割って15、さらに3で割って5。
- よって、180 = 2² × 3² × 5 となります。
「252」を素因数分解する
- 252を2で割って126、さらに2で割って63。
- 63を3で割って21、21を3で割って7。
- よって、252 = 2² × 3² × 7 です。
素因数分解を速く正確に解くためのコツと裏ワザ
素因数分解を解く際、「どの素数で割ればいいかわからない」と手が止まってしまうこともあると思います。特に大きな数字が出てくると、割り算の試行錯誤だけで時間をロスしてしまいます。
実は、数字を一目見ただけで、2や3や5で割り切れるかどうかを判断するテクニックがあります。
ここでは、テストで役立つ実践的なコツと裏ワザを紹介します。
まずは小さい素数から！割る素数を見つける順番のコツ
素因数分解を成功させる鉄則は、必ず「小さい素数から試す」ことです。具体的には、2, 3, 5, 7, 11...の順に割り切れるかを確認していきます。
その理由は、大きな素数から探そうとすると、計算の重複が起きたり、小さな素数を見落としたりするリスクが高まるからです。特に、同じ数字が複数回出てくる場合、小さい順に処理していく方が指数でまとめる作業もスムーズになります。
「偶数なら迷わず2で割る」「5や0で終わるなら5を試す」といったルーチンを作ることで、脳の負担を減らし、正確な計算が可能になります。
知っていると超便利！倍数の見分け方
数字の末尾や各位の和を見るだけで、何の倍数か瞬時に判定できる方法があります。
- 2の倍数：一の位が 0, 2, 4, 6, 8 のいずれかであれば、必ず2で割り切れます。
- 5の倍数：一の位が 0 か 5 であれば、必ず5で割り切れます。
- 3の倍数：すべての位の数を足した和が3の倍数なら、元の数も3で割り切れます。（例：126は 1 + 2 + 6 = 9なので、3で割り切れるとわかります）
この判定法を使えば、大きな数字でも「すだれ算」の最初の数字を迷わずに決めることができ、計算時間を大幅に短縮できます。
素因数分解は何の役に立つ？学習のゴールとなる応用問題
素因数分解は、単なる計算練習ではなく、中学・高校数学の難問を解くための強力なツールです。この技術をマスターすることで、入試頻出の応用問題にもスムーズに対応できるようになります。
ここでは、学習のモチベーションにもつながる、主要な3つの応用例を紹介します。
応用①：約数の個数を簡単に求められる
約数の個数を求める際、一つひとつ書き出していると時間がかかり、数え漏れの心配もあります。しかし、素因数分解を使えば、指数の数字を見るだけで簡単に計算できます。
やり方は、「それぞれの指数に1を足して、それらをすべて掛け合わせる」だけです。例えば 12 = 2² × 3¹ の場合、指数の2と1にそれぞれ1を足して、3 × 2 = 6個 と求められます。
この公式を使えば、どんなに大きな数字でも約数の個数を正確に答えることができ、時間短縮にもつながります。
応用②：平方根（ルート）の計算を簡単にする
中学3年生の重要単元「平方根（√）」において、素因数分解は欠かせない作業です。√の中の数字を素因数分解することで、数字を √ の外に出し、式を簡単にできます。
例えば √18 を考えるとき、18 = 2 × 3² なので、2乗になっている「3」を外に出して 3√2 と書き換えることができます。ルートを簡略化する作業は、平方根の加減乗除すべての計算において必須の工程です。
素因数分解が素早くできれば、平方根の計算問題全体が得意分野になるでしょう。
応用③：ある数が何の2乗（平方数）か判断できる
「420にできるだけ小さい自然数nを掛けて、ある数の2乗にしたい。nの値を求めなさい」といった問題は、入試の定番です。この判断も素因数分解で行います。
ある数が「自然数の2乗」になる条件は、素因数分解したときの「すべての指数が偶数」であることです。420 = 2² × 3 × 5 × 7 の場合、指数が奇数なのは3, 5, 7です。
これらを偶数にするために必要な 3 × 5 × 7 = 105 が答えのnとなります。このように、数の性質を見抜く際にも素因数分解は非常に有効です。
まとめ：素因数分解は高校数学への第一歩！確実にマスターしよう
素因数分解は、中学数学の土台となる極めて重要な単元です。自然数を素数の掛け算で表すというシンプルな操作の中に、約数の計算や平方根の処理など、将来の数学学習に欠かせないエッセンスが凝縮されています。
本記事で紹介した「すだれ算」の手順や、倍数の見分け方のコツを繰り返し練習すれば、誰でも正確に解けるようになります。まずは基本的な2桁の数字から練習を始め、徐々に自信をつけていきましょう。
この単元を確実にマスターすることは、高校入試やその先の高校数学をスムーズに理解するための大きな一歩となります。苦手意識を捨てて、楽しみながら数の不思議に触れてみてください。
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